Question

12．如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中點(diǎn)D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在EF上，設(shè)∠ADE=α（0°＜α＜90°），當(dāng)α由小到大變化時(shí)，圖中陰影部分的面積（　�。�

• A． 由小變大
• B． 由大變小
• C． 不變
• D． 先由小變大，后由大變小

Answer 1

分析 作輔助線，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊的一半可知：由于扇形DEF的圓心角為90°，半徑為CD，所以扇形DEF的面積為定值，證明∠GDM≌△HDN，則S_△GDM=S_△HDN，則S_{四邊形CGDH}=S_{正方形CMDN}=CM²，則四邊形CGDH的面積為定值，所以當(dāng)α由小到大變化時(shí)，圖中陰影部分的面積不變．

解答 解：連接CD，
在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=CD，CD平分∠ACB，
過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N，
∵CD平分∠ACB，
∴DM=DN，
∵∠DMC=∠ACB=∠DNC=90°，
∴四邊形CMDN為正方形，
∴∠MDN=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠GDM=∠NDH，
∴∠GDM≌△HDN，
∴S_△GDM=S_△HDN，
∴S_{四邊形CGDH}=S_{正方形CMDN}=CM²=（$\frac{1}{2}$AC）²=$\frac{1}{4}$AC²，
∴四邊形CGDH的面積為定值，
∴S_陰影=S_扇形DEF-S_{四邊形CGDH}，
∵扇形DEF的圓心角為90°，半徑為CD，
∴扇形DEF的面積為定值，
∴當(dāng)α由小到大變化時(shí)，圖中陰影部分的面積不變．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了扇形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定，明確利用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積的方法．