Question

9．在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為 BC的中點．
（1）如圖（1），若點M、N分別是線段AB、AC的中點．求證：DM=DN；
（2）如圖（2），若點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△DMN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）只要證明△AND≌△BMD即可．
（2）結(jié)論：△DMN是等腰直角三角形．只要證明△AND≌△BMD，推出DN=DM，∠ADN=∠BDM，由∠ADB=90°，即∠ADM+∠BDM=90°，推出∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°．

解答 證明：（1）如圖中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∵D是斜邊BC上的中點
∴AD=BD=$\frac{1}{2}BC$，
又∵AB=AC，AD是底邊BC上的中線
∴AD也是∠BAC的平分線，即∠DAN=∠DAB=45°，
∴∠B=∠NAD，
∵AC=AB，M，N分別是線段AB、AC的中點
∴AN=MB
在△AND和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠NAD=∠B}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△BMD，
∴DM=DN．

（2）如圖2中，

由（1）可知，AD=BD，∠NAD=∠B，
在△AND和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠NAD=∠B}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△BMD，
∴DN=DM，∠ADN=∠BDM，
∵∠ADB=90°，即∠ADM+∠BDM=90°，
∴∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°，
∴△MDN是等腰直角三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．