Question

18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)xOy中，直線l₁經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（-2，-1），點(diǎn)P是直線l₁上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心、5為半徑的圓在直線l₁上運(yùn)動(dòng)．
（1）請(qǐng)直接寫出直線l₁的解析式．
（2）當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸只有3個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若直線l₂的解析式是y=2x-1，點(diǎn)Q是直線l₂上一點(diǎn)，PQ=$\sqrt{2}$，當(dāng)以點(diǎn)Q為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓與直線l₁相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得直線l₁的解析式為y=x+1；
（2）設(shè)直線y=x+1上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（b，b+1），根據(jù)半徑為5的⊙P與坐標(biāo)軸只有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，分以下三種情況：①⊙P與x軸相切；②⊙P與y軸相切；③⊙P過原點(diǎn)；分別根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解，然后驗(yàn)證可得答案；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，2a-1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，b+1），根據(jù)PQ=$\sqrt{2}$可得（a-b）²+（2a-b-2）²=2 ①，由以點(diǎn)Q為圓心、$\sqrt{2}$為半徑的圓與直線l₁相切知點(diǎn)Q到直線l₁的距離為$\sqrt{2}$，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得$\frac{|a-（2a-1）+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，解之可得a的值，再將a的值代入①求出b，從而得知點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，
將（1，2）和（-2，-1）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線l₁的解析式為y=x+1；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，b+1），
①當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，|b+1|=5，即b+1=±5，
解得：b=4或b=-6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）或（-6，-5），
若點(diǎn)P為（4，5），點(diǎn)P到x軸距離為5，到y(tǒng)軸距離為4，此時(shí)⊙P與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)；
若點(diǎn)P為（-6，-5），點(diǎn)P到x軸距離為5，到y(tǒng)軸距離為6，此時(shí)⊙P與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，舍去；
②當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，|b|=5，即b=5或-5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，6）或（-5，-4），
若點(diǎn)P為（5，6），點(diǎn)P到x軸距離為6，到y(tǒng)軸距離為5，此時(shí)⊙P與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，舍去；
若點(diǎn)P為（-5，-4），點(diǎn)P到x軸距離為4，到y(tǒng)軸距離為5，此時(shí)⊙P與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)⊙P過原點(diǎn)時(shí)，則OP=5，即OP²=25，
∴b²+（b+1）²=25，整理得：b²+b-12=0，
解得：b=3或-4，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（-4，-3），
綜上，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸只有3個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）或（-5，-4）或（3，4）或（-4，-3）；

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，2a-1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，b+1），
∵PQ=$\sqrt{2}$，
∴PQ²=2，即（a-b）²+（2a-b-2）²=2 ①，
又∵以點(diǎn)Q為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓與直線l₁相切，
∴點(diǎn)Q到直線l₁：y=x+1的距離為$\sqrt{2}$，即$\frac{|a-（2a-1）+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
整理得：|2-a|=2，
解得：a=0或a=4，
將a=0代入①，得：b²+2b+1=0，
解得：b=-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）；
將a=4代入①，得：b²-10b+25=0，
解得：b=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，6），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）或（5，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式、圓的切線、點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定及性質(zhì)和有關(guān)公式是解題的關(guān)鍵．