Question

14．如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若點(diǎn)P在拋物線上，且S_△POC=4S_△BOC．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-1，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）a=1時，先由對稱軸為直線x=-1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），根據(jù)S_△POC=4S_△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵對稱軸為直線x=-1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=-1對稱，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）∵a=1時，拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=-1，
∴$\frac{-b}{2}$=-1，解得b=2．
將B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
則二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x-3，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），OC=3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
當(dāng)x=4時，x²+2x-3=16+8-3=21；
當(dāng)x=-4時，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）．

點(diǎn)評 此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．