Question

19．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=4，tan∠BDC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求BD的長；
（2）求AD的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA延長線于點(diǎn)E，先判斷出△ADE的形狀，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=4，tan∠BDC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{4}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴CD=2$\sqrt{6}$，
∴由勾股定理得BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（2）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA延長線于點(diǎn)E．
∵∠BAD=135°，
∴∠EAD=∠ADE=45°．
∴AE=ED．
設(shè)AE=ED=x，則AD=$\sqrt{2}$x．
∵DE²+BE²=BD²，
∴x²+（x+4）²=（2$\sqrt{10}$）²．
解得x₁=-6舍），x₂=2
∴AD=$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{2}$

點(diǎn)評 本題考查的是勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．