Question

4．如圖，△ABC是等腰直角三角形，斜邊AB⊥x軸于B，頂點A，C在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，再作等腰Rt△CDE，使直角頂點E在該函數(shù)圖象上，頂點D在x軸正半軸上，則△CDE的面積是$\frac{11-6\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設A（a，b），過C作CG⊥AB于G，作EF⊥x軸于F，求出點C的坐標，求出a、b的值，得到點A，C的坐標，作CH⊥x軸于H，EG⊥CH于G，證明△CEG≌△DEF，得到EG=EF，設EF=y，得到點E的坐標，根據(jù)點E在反比例函數(shù)的圖象上，求出y，求出CE，根據(jù)三角形面積公式求出△CDE的面積．

解答 解：設A（a，b），
過C作CP⊥AB于P，作EF⊥x軸于F，CH⊥x軸于H，EG⊥CH于G，
∵AB⊥x軸，△ABC是等腰直角三角形，
∴CG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b=BG，∴C（a+$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$b），
∵A、C在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，∴ab=$\frac{1}{2}$b（a+$\frac{1}{2}$b），
解得，b₁=2，b₂=-2（舍去），
則a=1，∴A（1，2），C（2，1），
∵等腰Rt△CDE，∴CE=DE，∠CED=∠GEF=90°，
∴∠CFG=∠DEF
在△CEG和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFG=∠DEF}\\{∠CGE=∠EFD}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DEF，∴EG=EF，
設EF=y，∴E（2+y，y），
∴（2+y）×y=2，
解得，y=$\sqrt{3}$-1，則點E（$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1），
∴CE²=（$\sqrt{3}$+1-2）²+（$\sqrt{3}$-1-1）²=11-6$\sqrt{3}$，
∵DE=CE，∴△CDE的面積=$\frac{1}{2}$CE²=$\frac{11-6\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{11-6\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，正確作出輔助線、靈活意義三角形全等的判定和性質是解題的關鍵，注意數(shù)形結合思想的運用．