Question

5．如圖，正方形ABCB₁中，AB=1．AB與直線l的夾角為30°，延長CB₁交直線l于點A₁，作正方形A₁B₁C₁B₂，延長C₁B₂交直線l于點A₂，作正方形A₂B₂C₂B₃，延長C₂B₃交直線l于點A₃，作正方形A₃B₃C₃B₄，…，依此規(guī)律，則A₂₀₁₄A₂₀₁₅=2（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 由四邊形ABCB₁是正方形，得到AB=AB₁，AB∥CB₁，于是得到AB∥A₁C，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CA₁A=30°，解直角三角形得到A₁B₁=$\sqrt{3}$，AA₁=2，同理：A₂A₃=2²$\sqrt{3}$，A₃A₄=2³$\sqrt{3}$，找出規(guī)律A_nA_n+1=2ⁿ$\sqrt{3}$，答案即可求出．

解答 解：∵四邊形ABCB₁是正方形，
∴AB=AB₁，AB∥CB₁，
∴AB∥A₁C，
∴∠CA₁A=30°，
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$，AA₁=2，
∴A₁B₂=A₁B₁=$\sqrt{3}$，
∴A₁A₂=2$\sqrt{3}$，
同理：A₂A₃=2（$\sqrt{3}$）²，
A₃A₄=2（$\sqrt{3}$）³，
…
∴A_nA_n+1=2（$\sqrt{3}$）ⁿ，
∴A₂₀₁₄A₂₀₁₅=2（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁴，
故答案為：2（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁴．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的$\sqrt{3}$倍是解題的關(guān)鍵．