Question

8．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，點A的坐標(biāo)是（3，1），連接OA．
（1）線段OA的垂直平分線與x軸交點的橫坐標(biāo)是$\frac{5}{3}$；
（2）在網(wǎng)格中用2B鉛筆畫出線段OA繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)線段OB，連接AB，求AB的長；
（3）在（2）的條件下，若△A′OB′與△AOB位似，點O是位似中心，點A的對應(yīng)點是點A′，且A′B′=$\sqrt{5}$，則點A′的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出AO的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DO的長；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出B點位置進(jìn)而得出AB的長；
（3）利用位似圖形的性質(zhì)，得出點A′的坐標(biāo)有2個．

解答 解：（1）作OA的垂直平分線CD，交x軸于點D，
∵AO=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，則OC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故cos∠AOD=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{DO}$，
解得：OD=$\frac{5}{3}$，
則線段OA的垂直平分線與x軸交點的橫坐標(biāo)是：$\frac{5}{3}$；
故答案為：$\frac{5}{3}$；

（2）如圖所示：
∵OA=$\sqrt{10}$，
在△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，
由勾股定理得：AB²=AO²+BO²=20，
則AB=2$\sqrt{5}$；

（3）∵△A′OB′與△AOB位似，點O是位似中心，點A的對應(yīng)點是點A′，且A′B′=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
則點A′的坐標(biāo)是：（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及位似變換的性質(zhì)，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．