Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，點A是y軸上的一點，點B與點C在x軸上且關(guān)于原點對稱，若點A（0，3），點B（-4，0）．
（1）在圖中畫出△ABC并求出△ABC三邊的長；
（2）一動點P以1cm/s的速度從點B向點C運動（P點不運動到C點），設(shè)點P運動的時間為t（單位：s）．
①寫出△APC的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍；
②當t為何值時，△APB為等腰三角形？并寫出此時點P的坐標；
③當t為何值時PA與△ABC的一腰垂直？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱性質(zhì)求出點C坐標，利用勾股定理求出AB、AC，即可解決問題．
（2））①根據(jù)S_△APC=$\frac{1}{2}$×PC×AO即可解決問題，0≤t＜8．
②分三種情形①PB=PA，設(shè)PB=PA=x，列出方程即可解決．②BP=BA=5時，求出OP即可解決問題，③AB=AP時，不符合題意．
③如圖所示，當PA⊥AC時，先求出直線AC的解析式，再求出直線直線PA的解析式即可解決問題．再根據(jù)對稱性求出P′A⊥AB時，BP的值即可．

解答 解：（1）△ABC如圖所示，
∵B、C關(guān)于原點對稱，B（-4，0），
∴點C坐標（4，0），∵A（0，3），
∴AB=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，BC=OB+OC=8．

（2）①S_△APC=$\frac{1}{2}$×PC×AO=$\frac{1}{2}$×（8-t）×3=-$\frac{3}{2}$t+4（0≤t＜8）．

②當PA=PB時，設(shè)PA=PB=x，在Rt△APO中，∵AP²=OA²+OP²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
此時OP=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴點P坐標（-$\frac{7}{8}$，0）．
當BA=BP時，BA=BP=5，此時OP=1，
∴點P坐標（1，0）．
∵點P與點C不重合，
∴AB≠AP，
綜上所述，△APB為等腰三角形時，點P的坐標為（-$\frac{7}{8}$，0）和（1，0）．

③如圖所示，當PA⊥AC時，
∵直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴可得直線PA的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+3，
令y=0，得x=-$\frac{9}{4}$．，
∴OP=$\frac{9}{4}$，
∴PB=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴t=$\frac{7}{4}$．
當P′A⊥AB時，根據(jù)對稱性，可得OP′=OP=$\frac{9}{4}$，
∴BP′=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∴t=$\frac{25}{4}$，
綜上所述，t=$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{4}$時，時PA與△ABC的一腰垂直．

點評 本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、兩條直線垂直k₁•k₂=-1等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用這些知識解決問題，學會分類討論，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．