Question

8．如圖．在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P從B出發(fā)．沿射線BA方向以每秒1個單位的速度勻速運動．過點P作PQ⊥x軸．直線PQ分別與直線BC、拋物線交于點Q、K．
（1）求線段KQ的長度d與點P運動時間t的函數(shù)解析式．
（2）求△CKQ的面積S關(guān)于點P運動時間t的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）求得直線BC的解析式，根據(jù)題意得到Q（t，-$\frac{1}{2}$t+2），K（t，-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}t$+2），然后分兩種情況討論即可求得；
（2）根據(jù)題意得到C到直線PQ的距離，然后根據(jù)兩種情況討論即可求得．

解答 解：y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2，當(dāng)x=0時，解得：y=2，所以O(shè)C=2；
當(dāng)y=0時，0=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+2，解得：x₁=-2，x₂=4，所以：OA=2，OB=4，
所以：A（-2，0），B（4，0），C（0，2），
（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
代入B、C的坐標(biāo)得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵PQ⊥x軸，
運動t秒后，Q（t，-$\frac{1}{2}$t+2），K（t，-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}t$+2），
∴當(dāng)0≤t＜4時，d=（-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}t$+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-$\frac{1}{4}$t²+t；
當(dāng)t≥4時，d=（-$\frac{1}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}t$+2）=$\frac{1}{4}$t²-t；
故線段KQ的長度d與點P運動時間t的函數(shù)解析式為d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+t（0≤t＜4）}\\{{\frac{1}{4}t}^{2}-t（t≥4）}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0≤t＜4時，C到直線PQ的距離為（4-t），
∴S=d（4-t）=（-$\frac{1}{4}$t²+t）（4-t）=$\frac{1}{4}$t³-2t²+4t；
當(dāng)t≥4時，C到直線PQ的距離為（t-4），
S=d（t-4）=（-$\frac{1}{4}$t²+t）（t-4）=-$\frac{1}{4}$t³+2t²-4t；
故△CKQ的面積S關(guān)于點P運動時間t的函數(shù)解析式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{3}-2{t}^{2}+4t（0≤t＜4）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{3}+2{t}^{2}-4t（t≥4）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．