Question

4．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過B作BF∥DE，交⊙O于點(diǎn)F，過F點(diǎn)作FH∥AC交BC的延長線于點(diǎn)H．
（1）求證：DE=DC；
（2）求∠BOF的度數(shù)；
（3）求證：FH與⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，而∠DEC=∠ABC，即可得答案；
（2）由∠BAC=45°得∠ABC=∠ACB=67.5°，在△DEC中，由DE=DC知∠EDC=45°，再由BF∥DE得∠FBC=∠EDC=45°，從而得出∠OBF度數(shù)，最后根據(jù)OB=OF可得；
（3）由（2）知∠FBH及∠OFB的度數(shù)，根據(jù)FH∥AC可得∠H的度數(shù)，再△BFH中可得∠BFH度數(shù)，繼而知∠OFH=90°，即可得證．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠DEC=∠ABC，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC；

（2）∵∠BAC=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∵DE=DC，
∴∠EDC=45°，
∵BF∥DE，
∴∠FBC=∠EDC=45°，
∴∠OBF=∠ABC-∠FBC=22.5°，
又∵OB=OF，
∴∠BOF=135°；

（3）∵FH∥AC，
∴∠H=∠ACB=67.5°，
又∵∠FBC=45°，
∴∠BFH=67.5°，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB=22.5°，
∴∠OFH=∠OFB+∠BFH=90°，即OF⊥FH，且OF為⊙O的半徑，
∴FH與⊙O相切．

點(diǎn)評 本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及切線的判定，熟練掌握并靈活運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．