Question

2．已知：如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，連接PA、PB、PC．
（1）將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'CB，若AB=m，PB=n（n＜m）．求△PAB旋轉(zhuǎn)過程中邊PA掃過區(qū)域（陰影部分）的面積；
（2）若PA=$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{2}$，∠APB=135°，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到S_△ABP=S_△CBP′，根據(jù)扇形的面積公式計算即可；
（2）連接PP′，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，S_△ABP=S_△CBP′，
∴△PAB旋轉(zhuǎn)過程中邊PA掃過區(qū)域面積=$\frac{90π×{m}^{2}}{360}$-$\frac{90π×{n}^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$（m²-n²）；
（2）連接PP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BP′C=∠APB=135°，∠PBP′=90°，BP′=BP=2$\sqrt{2}$，P′C=PA=$\sqrt{2}$，
∴PP′=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，∠PP′C=90°，
∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積的計算，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．