Question

12．小明學習了個新知識：
等分積周線：如果一條直線既平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條直線為三角形的“等分積周線”．
嘗試解決：
Rt△ABC，其中∠ACB=90°，AC=3，BC=4．
（1）如圖①所示，小明想過點C畫一條直線CD，CD平分△ABC的面積，其中D為AB上一點，則AD=$\frac{5}{2}$．
（2）小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖②中過點A畫了一條直線AE交BC于點E．你覺得AE能是“等分積周線”嗎？請說明理由．
（3）小穎覺得“等分積周線”不一定過三角形的頂點，所以畫了如圖③中的直線MN，M，N分別是直線BC，AC上的點，并設(shè)MC=x，請幫助小穎探索MN能是“等分積周線”嗎？請寫出探索過程．
（4）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．請你在圖④中畫一條“等分積周線”，并通過計算確定它的具體位置．

Answer 1

分析 （1）如圖①，由CD平分△ABC的面積可得AD=DB，只需求出AB就可解決問題；
（2）如圖②，由AE平分△ABC的面積可得CE=EB=2，由此可得AC+CE≠AB+EB，故AE不是“等分積周線”；
（3）如圖③，由MN是“等分積周線”可得CM+CN=6，S_△MCN=$\frac{1}{2}$CM•CN=3，從而可得$\frac{1}{2}$x（6-x）=3，求出x，由點M在BC上，點N在AC上可得3＜x＜4，從而可得“等分積周線”不存在；
（4）如圖④，由PQ是“等分積周線”可得AP+AQ=6，S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3．設(shè)AP=x，則AQ=6-x．過點P作PH⊥AQ于H，易證△AHP∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PH=$\frac{4x}{5}$，由S_△APQ=3可求出x，由點P在AC上，點Q在AB上可得1＜x＜3，從而可得到x的值，即可得到AP、AQ的值．

解答 解：（1）如圖①，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
∵CD平分△ABC的面積，
∴AD=DB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
故答案為$\frac{5}{2}$；

（2）AE不是“等分積周線”．
理由：如圖②，

∵AE平分△ABC的面積，
∴CE=EB=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵AC+CE=3+2=5，AB+EB=5+2=7，
∴AC+CE≠AB+EB，
∴AE不是“等分積周線”；

（3）如圖③，

∵直線MN平分△ABC的周長，
∴CM+CN=$\frac{1}{2}$（3+4+5）=6．
∵MC=x，∴CN=6-x．
∵直線MN平分△ABC的面積，
∴S_△MCN=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×3=3，
∴$\frac{1}{2}$CM•CN=3，
∴$\frac{1}{2}$x（6-x）=3，
整理得x²-6x+6=0，
解得x₁=3+$\sqrt{3}$，x₂=3-$\sqrt{3}$．
∵點M在BC上，點N在AC上，
∴x＜4，6-x＜3，
∴3＜x＜4，
∴x不存在，
∴“等分積周線”不存在．

（4）如圖④，PQ是“等分積周線”，

則有AP+AQ=6，S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3．
設(shè)AP=x，則AQ=6-x．
過點P作PH⊥AQ于H，
則有∠AHP=∠C=90°．
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{4}$=$\frac{x}{5}$，
∴PH=$\frac{4x}{5}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AQ•PH=$\frac{1}{2}$（6-x）•$\frac{4x}{5}$=3，
整理得2x²-12x+15=0，
解得x₁=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$．
∵點P在AC上，點Q在AB上，
∴x＜3，6-x＜5，
∴1＜x＜3，
∴x=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，
∴6-x=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$．
∴AP=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，AQ=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，
∴點P在離點A$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$處，點Q在離點A$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$處．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程、勾股定理、三角形的中線平分三角形的面積等知識，需要說明的是：解決第（3）小題及第（4）小題的過程中，要考慮x的取值范圍；另外，第（4）小題解題的過程中沒有考慮直線與邊BC、AB相交的情況，是因為通過計算可知該情況下“等分積周線”不存在．