Question

12．如圖，拋物線y=a（x-2）²+k與x軸交于A，B兩點，與y軸的負半軸交于C點，A（1，0），S_△ABC=3
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M在線段BC上，將線段OM繞點O逆時針旋90°，若點M的對應點N恰好落在第一象限的拋物線上，求N點的坐標；
（3）將△OAC沿AC翻折得到△EAC，再將拋物線沿直線AE方向移動，交AE于H，G兩點，試問在移動過程中，HG的長度是否發(fā)生變化？若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B關于對稱軸對稱，求出點B坐標，再根據(jù)△ABC的面積，求出點C坐標，設拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-3），把（0，-3）代入求出a即可解決問題．
（2）如圖1中，作ME⊥y軸于E，NF⊥y軸于F，由△NFO≌△OEM，得OF=EM，F(xiàn)N=OE，由B（3，0），C（0，-3），得直線BC的解析式為y=x-3，設M（m，m-3），則點N坐標（3-m，m），把點N（3-m，m）代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+4x-3即可解決問題．
（3）如圖2中，設直線OE交AC于K，交拋物線于F．根據(jù)平移的性質可知AF=HG，所以GH的值不變．想辦法求出AF的長即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x-2）²+k與x軸交于A，B兩點，A（1，0），
∴對稱軸x=2，B（3，0），
∵S_△ABC=3，
∴$\frac{1}{2}$×AB×OC=3，
∴OC=3，
∴點C坐標為（0，-3），
設拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-3），把（0，-3）代入得到a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3．

（2）如圖1中，作ME⊥y軸于E，NF⊥y軸于F．

∵∠MON=90°，
∴∠NOF+∠MOE=90°，∠NOF+∠ONF=90°，
∴∠MOE=∠ONF，
在△NFO和△OEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NFO=∠OEM=90°}\\{∠MOE=∠ONF}\\{ON=OM}\end{array}\right.$，
∴△NFO≌△OEM，
∴OF=EM，F(xiàn)N=OE，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC的解析式為y=x-3，設M（m，m-3），
∴點N坐標（3-m，m），
把點N（3-m，m）代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+4x-3得到，m=-（3-m）²+4（3-m）-3，解得m=1，
∴點N坐標（2，1）．

（3）如圖2中，設直線OE交AC于K，交拋物線于F．根據(jù)平移的性質可知AF=HG，所以GH的值不變．

∵A（1，0），C（0，-3），
∴直線AC解析式為y=3x-3，
∵△AEC是由△ACO翻折得到，
∴AC垂直平分OE，
∴直線OE解析式為y=-$\frac{1}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=3x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{10}}\\{y=-\frac{3}{10}}\end{array}\right.$，
∴點K坐標（$\frac{9}{10}$，-$\frac{3}{10}$），
∴點E坐標（$\frac{9}{5}$，-$\frac{3}{5}$），
∴直線AE的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}X+\frac{3}{4}}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{4}}\\{y=-\frac{33}{16}}\end{array}\right.$，
∴點F坐標（$\frac{15}{4}$，-$\frac{33}{16}$），
∴AF=$\sqrt{（\frac{15}{4}-1）^{2}+（\frac{33}{16}）^{2}}$=$\frac{55}{8}$．
∴GH=AF=$\frac{55}{8}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質、平移的性質等知識，解題的關鍵是靈活應用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會添加常用輔助線，構造全等三角形，學會利用方程組求出兩個函數(shù)的交點坐標，屬于中考壓軸題．