Question

13．在定圓內(nèi)有兩條互相垂直的弦AC、BD，求證：AB²+BC²+CD²+DA²為定值．

Answer 1

分析 作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，連接OA，OB，OC，OD，設(shè)⊙O的半徑為R（定值），AC，BD的交點為H，AC=2a，BD=2b，利用垂徑定理可得AE=CE=a，BF=CF=b，OE=FH，OF=EH，由勾股定理得a²+b²+EH²+FH²=2R²，等量代換得出結(jié)論．

解答 證明：作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，連接OA，OB，OC，OD，
設(shè)⊙O的半徑為R（定值），AC，BD的交點為H，AC=2a，BD=2b，
則AE=CE=a，BF=CF=b，OE=FH，OF=EH，OE²+a²=R²，OF²+b²=R²，
∴a²+b²+EH²+FH²=2R²，
∵AC⊥BD，
∴AB²+BC²+CD²+DA²=2AH²+2BH²+2CH²+2DH²
=2（a+EH）²+2（b-HF）²+2（a-EH）²+2（b+FH）²
=4（a²+b²+EH²+FH²）
=8R²
=定值．

點評 本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，設(shè)半徑為定值R是解答此題的關(guān)鍵．