Question

17．已知四邊形ABCD為矩形，延長(zhǎng)CB到E，使CE=CA，連接AE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接BF，DF，DF交AB于點(diǎn)G，下列結(jié)論：
（1）BF⊥DF；
（2）S_△BDG=S_△ADF；
（3）EF²=FG•FD；
（4）$\frac{AG}{BG}$=$\frac{BC}{AC}$
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 方法一、利用矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論判斷出△BDF≌△ACF，借助直角三角形的斜邊大于直角邊，再用面積公式判斷出面積大小，判斷出△AFG∽△DFA，△BFG∽△DFB，即可判斷出結(jié)論．
方法二、利用矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論判斷出△BDF≌△ACF，進(jìn)而判斷出B、F、A、D四點(diǎn)共圓．

解答 解：方法一、如圖1，連接CF，

設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，
∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，
∴AF=EF，
∵CE=CA，
∴CF⊥AE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵點(diǎn)F是Rt△ABE斜邊上的中點(diǎn)，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠FBA，
∴∠FAC=∠FBD，
在△BDF和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠FAC=∠FBD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACF，
∴∠BFD=∠AFC=90°，
∴BF⊥DF，
所以①正確；
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
在Rt△AFH中，F(xiàn)H＜AF，
在Rt△BFG中，BG＞BF，
∵AF=BF，
∴BG＞FH，
∵S_△ADF=$\frac{1}{2}$FH×AD，S_△BDG=$\frac{1}{2}$BG×AD，
∴S_△BDG＞S_△ADF，
所以②錯(cuò)誤；
∵∠ABF+∠BGF=∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠ABF=∠ADG，
∵∠BAF=∠FBA，
∴∠BAF=∠ADG，
∵∠AFG=∠DFA，
∴△AFG∽△DFA，
∴$\frac{AF}{FD}=\frac{FG}{AF}$，
∴AF²=FG•FD，
∵EF=AF，
∴EF²=FG•FD，
所以③正確；
∵BF=EF，
∴BF²=FG•FD，
∴$\frac{BF}{FG}=\frac{FD}{BF}$，
∵∠BFG=∠DFB，
∴△BFG∽△DFB，
∴∠ABF=∠BDF，
∵由③知，∠ABF=∠ADF
∴∠ADF=∠BDF，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{BD}$（利用角平分線定理），
∵BD=AC，AD=BC，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{BC}{AC}$，
所以④正確，
故選C．
方法二、連接CF，
設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，
∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，
∴AF=EF，
∵CE=CA，
∴CF⊥AE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵點(diǎn)F是Rt△ABE斜邊上的中點(diǎn)，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠FBA，
∴∠FAC=∠FBD，
在△BDF和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠FAC=∠FBD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACF，
∴∠BFD=∠AFC=90°，
∴BF⊥DF，所以①正確；
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴點(diǎn)B、F、A、D四點(diǎn)在以BD為直徑的圓上，
∵點(diǎn)F是直角三角形ABE的斜邊AE的中點(diǎn)，
∴BF=AF=EF，
∴∠ADF=∠BDF，
∴S_△ADF=S_△BDF，
∵S_△BDG＜S_△BDF，
∴S_△ADF＞S_△BDG，∴②錯(cuò)誤；
∵∠ADF=∠BDF，∠ADF=∠BDF，
∴∠AFG=∠AFG，
∴△AFG∽△DFA，
∴∴$\frac{AF}{FD}=\frac{FG}{AF}$，
∴AF²=FG•FD，
∵EF=AF，
∴EF²=FG•FD，
所以③正確；
∵∠ADF=∠BDF，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{BD}$（利用角平分線定理），
∵BD=AC，AD=BC，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{BC}{AC}$，
所以④正確，
故選C．

附：角平分線定理：
如圖，
∵AD是∠BAC的角平分線交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，
過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于E，
∴∠BAD=∠E，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∵∠BAD=∠E，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角平分線定理，解本題的是△BDF≌△ACF．