Question

6．如圖，將△ABC的邊AB延長2倍至點A₁，邊BC延長2倍至點B₁，邊CA延長2倍至點C₁，順次連結(jié)A₁、B₁、C₁，得△A₁B₁C₁，再分別延長△A₁B₁C₁的各邊2倍得△A₂B₂C₂，…，依次這樣下去，得△A_nB_nC_n，若△ABC的面積為1，則△A_nB_nC_n的面積為19ⁿ．

Answer 1

分析 根據(jù)等底的三角形高的比等于面積比推理出△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，則△A₁B₁B的面積是△A₁BC面積的3倍…，以此類推，得出△A₂B₂C₂的面積．

解答 解：連接A₁C，根據(jù)A₁B=2AB，得到：AB：A₁A=1：3，
因而若過點B，A₁作△ABC與△AA₁C的AC邊上的高，則高線的比是1：3，
因而面積的比是1：3，則△A₁BC的面積是△ABC的面積的2倍，
設(shè)△ABC的面積是a，則△A₁BC的面積是2a，
同理可以得到△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，是4a，
則△A₁B₁B的面積是6a，
同理△B₁C₁C和△A₁C₁A的面積都是6a，
△A₁B₁C₁的面積是19a，
即△A₁B₁C₁的面積是△ABC的面積的19倍，
同理△A₂B₂C₂的面積是△A₁B₁C₁的面積的19倍，
即△A₁B₁C₁的面積是19，△A₂B₂C₂的面積19²，
依此類推，△A_nB_nC_n的面積是S_n=19ⁿ．
故答案為：19ⁿ．

點評 考查了三角形的面積，正確判斷相鄰的兩個三角形面積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，本題的難度較大．