Question

15．如圖，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；
（2）將拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c向上平移3$\frac{1}{12}$個單位長度，再向右平移|m|（m＜0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）點M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先由直線y=x-4與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，求出點A、B的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式，得到關(guān)于b，c的方程組，求出b，c的值可得拋物線的解析式，再令y=0，求出x的值可得點C的坐標(biāo)；
（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動后的函數(shù)解析式，進而用m表示出該函數(shù)的頂點坐標(biāo)，將其代入直線BC、AB的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時m的取值范圍；
（3）分兩種情況：點M在點A的下方和點M在點A的上方，過點M作y軸的垂線，得到與△OCB相似的三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）∵直線y=x-4與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，
∴A（4，0）、B（0，-4），
∵拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{3}+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4，
令y=0，得$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4=0，解得x₁=-3，x₂=4，
∴點C的坐標(biāo)為（-3，0）；
（2）∵m＜0，
∴|m|=-m，
∵y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$4\frac{1}{12}$
由題意，新拋物線的解析式可表示為：y=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{1}{2}$+m）²-$4\frac{1}{12}$+$3\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{1}{2}$+m）²-1，
它的頂點坐標(biāo)P（$\frac{1}{2}$-m，-1）；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n（k≠0），把點B、C的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+n=0}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴k=$-\frac{4}{3}$，n=-4，
∴直線BC的解析式為y=$-\frac{4}{3}$x-4，
當(dāng)點P在直線BC上時，$-\frac{4}{3}$（$\frac{1}{2}$-m）-4=-1，解得m=$\frac{11}{4}$，
當(dāng)點P在直線AB上時，$\frac{1}{2}$-m-4=-1，解得m=$-\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)點P在△ABC內(nèi)時，$-\frac{5}{2}$＜m＜$\frac{11}{4}$，
又∵m＜0，
∴$-\frac{5}{2}$＜m＜0；
（3）∵點A（4，0）、B（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，
當(dāng)點M在點A的下方時，如圖1，作MN⊥y軸與N，則∠MNB=90°，
設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{3}$a²-$\frac{1}{3}$a-4），則MN=a，ON=-$\frac{1}{3}$a²+$\frac{1}{3}$a+4，BN=$\frac{1}{3}$a²-$\frac{1}{3}$a，
∵∠MBA+∠CBO=45°，
∴∠CBM=90°=∠OBC+∠NBM，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCB=∠NBM，
又∵∠COB=∠BNM=90°，
∴△OCB∽△NBM，
∴OC：OB=NB：NM，即3：4=（$\frac{1}{3}$a²-$\frac{1}{3}$a）：a，
解得a=$\frac{13}{4}$，
∴點M的坐標(biāo)為$（\frac{13}{4}，-\frac{25}{16}）$；
當(dāng)點M在點A的上方時，如圖2，作MH⊥y軸與H，則∠MHB=90°，
∵設(shè)點M的坐標(biāo)為（e，$\frac{1}{3}$e²-$\frac{1}{3}$e-4），則MH=e，BH=$\frac{1}{3}$e²-$\frac{1}{3}$e，
∵∠MBA+∠CBO=45°，∠OBA=45°，
∴∠OBC=∠HBM，
又∵∠COB=∠MHB，
∴△OBC∽△HBM，
∴OC：OB=HM：HB，即3：4=e：（$\frac{1}{3}$e²-$\frac{1}{3}$e），
解得e=5，
∴點M的坐標(biāo)為（5，$\frac{8}{3}$），
綜上所述，點M的坐標(biāo)為$（\frac{13}{4}，-\frac{25}{16}）$或（5，$\frac{8}{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，具有一定的綜合性，難度較大，解答問題（3）時注意分類討論，通過構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．