Question

14．在正方形ABCD和正方形DEFG中，頂點B、D、F在同一直線上，H是BF的中點．
（1）如圖1，若AB=1，DG=2，求BH的長；
（2）如圖2，連接AH，GH．
小宇觀察圖2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：延長AH交EF于點M，連接AG，GM，要證明結(jié)論成立只需證△GAM是等腰直角三角形；
想法2：連接AC，GE分別交BF于點M，N，要證明結(jié)論成立只需證△AMH≌△HNG．
…
請你參考上面的想法，幫助小宇證明AH=GH，AH⊥GH．（一種方法即可）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理得出AB，DG，進而求出BF，即可得出結(jié)論；
（2）證法一、先判斷△ABH≌△MFH，進而判斷出△ADG≌△MFG．即可判斷出△AGM為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；
證法二、先判斷出MN=$\frac{1}{2}$BF．進而判斷出△AMH≌△HNG，即可判斷出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴△ABD，△GDF為等腰直角三角形．
∵AB=1，DG=2，
∴由勾股定理得BD=$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{2}$．
∵B、D、F共線，
∴BF=3$\sqrt{2}$．
∵H是BF的中點，
∴BH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

（2）證法一：
如圖1，延長AH交EF于點M，連接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線，
∴AB∥EF．
∴∠ABH=∠MFH．
又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．
∴AH=MH，AB=MF．
∵AB=AD，
∴AD=MF．
∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，
∴△ADG≌△MFG．
∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．
又∵∠DGM+∠MGF=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°．
∴△AGM為等腰直角三角形．
∵AH=MH，
∴AH=GH，AH⊥GH．

證法二：
如圖2，連接AC，GE分別交BF于點M，N，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線，
∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=$\frac{1}{2}$BD，DN=$\frac{1}{2}$DF．
∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=$\frac{1}{2}$BF．
∵H是BF的中點，
∴BH=$\frac{1}{2}$BF．
∴BH=MN．
∴BH-MH=MN-MH．
∴BM=HN．
∵AM=BM=DM，
∴AM=HN=DM．
∴MD+DH=NH+DH．
∴MH=DN．
∵DN=GN，
∴MH=GN．
∴△AMH≌△HNG． 
∴AH=GH，∠AHM=∠HGN． 
∵∠HGN+∠GHN=90°，
∴∠AHM+∠GHN=90°．
∴∠AHG=90°．
∴AH⊥GH．
∴AH=GH，AH⊥GH．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出BF，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ABH≌△MFH和△AMH≌△HNG；是一道中等難度的中考�？碱}．