Question

5．如圖1，已知在等邊△ABC中，當(dāng)點D在BC邊上，點E在AC邊上，且BD=CE，連接AD、BE，交于點F．（等邊三角形3條邊相等，每個角都是60°）
（1）求證：∠AFE=∠ABD．
（2）如圖2，當(dāng)點D在BC的延長線上，點E在CA的延長線上，而其它條件不變時，∠AFE與∠ABD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)點D在CB的延長線上，點E在AC的延長線上．而其它條件不變時，∠AFE與∠ABD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出關(guān)系，不必證明．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AB=BC，∠ABD=∠C，再根據(jù)SAS判定△ABD≌△BCE，即可得出∠BAD=∠CBE，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)等邊三角形的三個角都等于60°，三條邊都相等，證明△ECB與△DBA全等，得出∠EBC=∠DAB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠AFE=120°，而∠ABD=60°，進而得到∠AFE=2∠ABD；
（3）先根據(jù)等邊三角形的三個角都等于60°，三條邊都相等，證明△ECB與△DBA全等，得出∠E=∠D，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，求出∠AFE=60°，而∠ABD=120°，進而得到2∠AFE=∠ABD．

解答 （1）證明：如圖1，∵等邊△ABC中，3條邊相等，每個角都是60°，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠ABD=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
又∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠ABF+∠BAD=∠AFE，
∴∠CBE+∠ABF=∠AFE，
即∠AFE=∠ABD；

（2）∠AFE=2∠ABD．
證明：如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=BC，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，而BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠ABD=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠DAB，
∵在△ABD中，∠DAB+∠D=180°-∠ABC=120°，
∴∠EBC+∠D=120°，
∵∠AFE是△BDF的外角，
∴∠AFE=∠EBC+∠D=120°，
又∵∠ABD=60°，
∴∠AFE=2∠ABD；

（3）2∠AFE=∠ABD．
理由：如圖3，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠BCE=120°，
在△BCE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠ECB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABD（SAS），
∴∠D=∠E，
∵∠AFE=∠D+∠DBF，而∠DBF=∠CBE，
∴∠AFE=∠E+∠CBE=∠ACB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠ABD=2∠AFE．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及和全等三角形的判與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握SAS判定定理：兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．解題時注意靈活運用：等邊三角形3條邊相等，每個角都是60°；全等三角形的對應(yīng)角相等；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．