Question

12．已知，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AD、OA、BC、OC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）當(dāng)BC=$\sqrt{3}$AB時(shí)，判斷四邊形EFGH為何種特殊四邊形，并證明．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線定理得到EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OD，GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OB，則EF$\stackrel{∥}{=}$GH．由“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”證得結(jié)論；
（2）如圖，連接EG．利用矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義推知OG=OH，易得EG=FH，故根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”判定四邊形EFGH為矩形．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB．
∵E、F分別是AD、OA的中點(diǎn)，
EF是△AOD的中位線，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OD．
同理得到GH是△BOC的中位線，則GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）平行四邊形EFGH為矩形．理由如下：
如圖，連接EG．
∵點(diǎn)E、G是AD、BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，
∴EG⊥BC，且點(diǎn)O在線段EG上，∠ABC=90°．
∵BC=$\sqrt{3}$AB，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$OC=OH，即OG=OH．
又∵由（1）知，四邊形EFGH為平行四邊形，
∴2OG=2OH，即EG=FH，
∴平行四邊形EFGH為矩形．

點(diǎn)評 本題主要考查中點(diǎn)四邊形，此題利用了矩形的兩條對角線相等和三角形中位線定理進(jìn)行解題的，難度不大．