Question

8．【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數軸上點A、點B表示的數分別為a、b，則A，B兩點之間的距離AB=|a-b|，線段AB的中點表示的數為$\frac{a+b}{2}$．
【問題情境】如圖，數軸上點A表示的數為-2，點B表示的數為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．
設運動時間為t秒（t＞0）．
【綜合運用】
（1）填空：
①A、B兩點間的距離AB=10，線段AB的中點表示的數為3；
②用含t的代數式表示：t秒后，點P表示的數為-2+3t；點Q表示的數為8-2t．
（2）求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數；
（3）求當t為何值時，PQ=$\frac{1}{2}$AB；
（4）若點M為PA的中點，點N為PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．

Answer 1

分析 （1）根據題意即可得到結論；
（2）當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數相等列方程得到t=2，于是得到當t=2時，P、Q相遇，即可得到結論；
（3）由t秒后，點P表示的數-2+3t，點Q表示的數為8-2t，于是得到PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到結論；
（4）由點M表示的數為 $\frac{-2+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$-2，點N表示的數為 $\frac{8+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$+3，即可得到結論．

解答 解：（1）①10，3；
②-2+3t，8-2t；
（2）∵當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數相等
∴-2+3t=8-2t，
解得：t=2，
∴當t=2時，P、Q相遇，
此時，-2+3t=-2+3×2=4，
∴相遇點表示的數為4；
（3）∵t秒后，點P表示的數-2+3t，點Q表示的數為8-2t，
∴PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，
又PQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴|5t-10|=5，
解得：t=1或3，
∴當：t=1或3時，PQ=$\frac{1}{2}$AB；
（4）∵點M表示的數為 $\frac{-2+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$-2，
點N表示的數為 $\frac{8+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$+3，
∴MN=|（$\frac{3t}{2}$-2）-（$\frac{3t}{2}$+3）|=|$\frac{3t}{2}$-2-$\frac{3t}{2}$-3|=5．

點評 本題考查了一元一次方程的應用應用和數軸，解題的關鍵是掌握點的移動與點所表示的數之間的關系，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．