Question

20．如圖1，△ABC和△CDE為等邊三角形，且邊長分別為a，b，點D和E分別在邊AC和BC上，點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，連接FG，GH，HI，IF
（1）判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形？并說明理由．
（2）當a=6，b=2時，求四邊形FGHI的周長．
（3）如圖2，當四邊形FGHI是正方形時，連接AE，BD，相交于點N，點N，H恰好在FC上，若a=2+$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC和△CDE為等邊三角形，可得四邊形ABED是等腰梯形，再根據(jù)點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，即可得出FG=IH=FI=GH，進而得到四邊形FGHI是菱形；
（2）過A作AM⊥BC于M，連接AE，再根據(jù)勾股定理，求得Rt△ACM中，AM=3$\sqrt{3}$，Rt△AEM中，AE=2$\sqrt{7}$，由（1）可得，四邊形FGHI是菱形，且AE=2FG，即可得出四邊形FGHI的周長=4FG=2AE；
（3）連接GI，根據(jù)四邊形ABED是等腰梯形，G，I分別為BE，AD的中點，即可得到GI=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），再根據(jù)四邊形FGHI是正方形，可得FH=GI=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），再根據(jù)△ABC和△CDE為等邊三角形，F(xiàn)、H分別是AB、DE的中點，運用三線合一得出CF⊥AB，CH⊥DE，最后根據(jù)DE∥AB，得到$\frac{CH}{CF}$=$\frac{DE}{AB}$，列出關(guān)于b的方程式進行求解即可．

解答 解：（1）四邊形FGHI是菱形．
如圖1，連接AE，BD，
∵△ABC和△CDE為等邊三角形，
∴DE∥AB，AD=BE，
∴四邊形ABED是等腰梯形，
∴AE=BD，
又∵點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，
∴FG=IH=$\frac{1}{2}$AE，F(xiàn)I=GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴FG=IH=FI=GH，
∴四邊形FGHI是菱形；

（2）當a=6，b=2時，BC=AC=6，CE=2，
如圖，過A作AM⊥BC于M，連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴CM=$\frac{1}{2}$BC=3，ME=3-2=1，
又∵Rt△ACM中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴Rt△AEM中，AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
由（1）可得，四邊形FGHI是菱形，且AE=2FG，
∴四邊形FGHI的周長=4FG=2AE=4$\sqrt{7}$；

（3）如圖2，連接GI，
∵四邊形ABED是等腰梯形，G，I分別為BE，AD的中點，
∴GI=$\frac{1}{2}$（DE+AB）=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），
∵四邊形FGHI是正方形，
∴FH=GI=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$+b），
∵△ABC和△CDE為等邊三角形，F(xiàn)、H分別是AB、DE的中點，
∴CF⊥AB，CH⊥DE，
∴Rt△CDH中，CH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CH}{CF}$=$\frac{DE}{AB}$，
即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{1}{2}（2+\sqrt{3}+b）}$=$\frac{2+\sqrt{3}}$，
解得b=1，
故b的值為1．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的判定，正方形的性質(zhì)，中點四邊形，梯形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)三角形中位線定理，計算菱形的周長；解題時注意：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，據(jù)此可得比例式，解方程可得出b的值．