Question

2．如圖（a），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，現(xiàn)以AB所在直線為對稱軸，△ABC經(jīng)軸對稱變換后的圖形為△DEF．
（1）求四邊形ACBF的面積；
（2）如圖（b），若△ABC和△DEF從初始位置（如圖（a）所示）在射線AB上沿AB方向同時(shí)開始平移，△ABC的運(yùn)動速度是每秒2個(gè)單位，△DEF的運(yùn)動速度是每秒1個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
①當(dāng)0＜t＜$\sqrt{5}$時(shí)，求線段AE的長度（用含t的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，求t的值；
（3）在第（2）題的圖形運(yùn)動過程中，是否存在一點(diǎn)A、C、B、F組成的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：△DEF是由△ABC翻折所得，所以四邊形ACBF的面積就是兩個(gè)△ABC的面積；
（2）①根據(jù)AE=DE+A′D-A′A代入可得結(jié)果；
②當(dāng)0＜t＜$\sqrt{5}$時(shí)，分三種情況：任意兩邊相等時(shí)，找一等量關(guān)系列方程可得t的值，當(dāng)t＞$\sqrt{5}$時(shí)，如圖（d），因?yàn)椤螦EF是鈍角，所以△AEF是等腰三角形時(shí)只存在一種情況：根據(jù)EF=AE列方程可得結(jié)論；
（3）當(dāng)四邊形ACBF是矩形時(shí)，AF=BC=EF=1，由（2）得：此時(shí)t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）如圖（a），由題意得：S_{四邊形ACBF}=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$AC×BC=2×1=2；
（2）①由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
設(shè)點(diǎn)A的起點(diǎn)為A′，則AE=DE+A′D-A′A=$\sqrt{5}$+t-2t=$\sqrt{5}$-t；
②當(dāng)0＜t＜$\sqrt{5}$時(shí)，分三種情況：
i）AE=EF時(shí)，即$\sqrt{5}$-t=1，
t=$\sqrt{5}$-1；
ii）AE=AF時(shí)，
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
∴$\sqrt{5}$-t=t，
t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
iii）AF=EF時(shí)，如圖（c），過F作FG⊥AE于G，則AG=EG，
tan∠FEG=$\frac{FG}{EG}$=$\frac{DF}{EF}$=2，
設(shè)FG=2x，EG=x，
由勾股定理得：（2x）²+x²=1²，
x=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AE=2EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sqrt{5}$-t=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)t＞$\sqrt{5}$時(shí)，如圖（d），AE=AA′-A′D-DE=2t-t-$\sqrt{5}$=t-$\sqrt{5}$，
當(dāng)EF=AE時(shí)，△AEF是等腰三角形，
即t-$\sqrt{5}$=1，
t=$\sqrt{5}$+1；
綜上所述，當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，t的值是$\sqrt{5}$-1或$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$+1；
（3）存在，
如圖1，當(dāng)四邊形ACBF是矩形時(shí)，
AF=BC=1，
∴AF=EF=1
由（2）得：此時(shí)t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
∴點(diǎn)A、C、B、F組成的四邊形為矩形時(shí)，t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰三角形定義等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，學(xué)會分類討論，屬于中考壓軸題．