Question

4．如圖，在矩形ABCD中，O為AC的中點，EF過O點且EF⊥AC分別交DC于E，交AB于E，點G是AE的中點，且∠AOG=30°，則下列結論：（1）DC=3OG；（2）OG=$\frac{1}{2}$BC；（3）四邊形AECF為菱形；（4）S_△AOE=$\frac{1}{6}$S_{四邊形ABCD}．其中正確的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)條件，OG是直角△AOE斜邊上的中線，且△FOC≌△EOA，然后利用三角函數(shù)求得BC、AB以及OA、OC之間的關系即可作出判斷．

解答 解：∵EF⊥AC，G是AF的中點，
∴AG=OG=GF，
∴∠OAF=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=OC，設BC=a，AC=2a，AO=OC=a．
AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，AB=$\sqrt{3}$a，OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴CD=AB=3OG，故①正確；
OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a≠$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$BC，故②錯誤；
易證△FOC≌△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形，故③正確；
∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²，S_矩形ABCD=a•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$a²，
∴S_△AOE=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD，故④正確．
故選C．

點評 本題考查了矩形的性質以及菱形的判定，正確理解圖形中∠CAB=30°，從而確定BC、AB以及OA、OC之間的關系是關鍵．