Question

11．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC=BC，S_△PBC=4．
（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC結(jié)合CO⊥AB可得出OA=OB，由點(diǎn)P的坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積公式可得出OA=OB=4，即得出點(diǎn)A、點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出一次函數(shù)的解析式，由點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）假設(shè)存在，過點(diǎn)C作x軸的平行線與雙曲線交于點(diǎn)D，令一次函數(shù)解析式中x=0找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出BP與CD互相垂直平分，由此可證得四邊形BCPD為菱形．

解答 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，
∴O為AB的中點(diǎn)，即OA=OB，
∵S_△PBC=4，即$\frac{1}{2}$OB×PB=4，
∵P（n，2），
∴PB=2，
∴OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），A（-4，0）．
將A（-4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{4}$x+1；
將P（4，2）代入反比例解析式得：2=$\frac{m}{4}$，解得：m=8，
∴反比例解析式為y=$\frac{8}{x}$．
（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形．
過點(diǎn)C作x軸的平行線與雙曲線交于點(diǎn)D，如圖所示．

令一次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x+1中x=0，則有y=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），
∵CD∥x軸，
∴設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，1）．
將點(diǎn)D（x，1）代入反比例解析式y(tǒng)=$\frac{8}{x}$中，得：1=$\frac{8}{x}$，
解得：x=8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，1），即CD=8．
∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，
∴BP與CD互相垂直平分，
∴四邊形BCPD為菱形．
故反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，1）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）利用“對角線互相垂直平分”證出四邊形為菱形．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)三角形的面積公式找出邊的長度，再由邊的長度找出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．