Question

7．如圖，以BC為直徑，以O(shè)為圓心的半圓交△CFB的邊CF于點(diǎn)A，BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)M，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD交BM于點(diǎn)N，ME⊥BC于點(diǎn)E，BC²=CF•AC，cos∠ABD=$\frac{3}{5}$，AD=12．
（1）求證：FB是圓O的切線；
（2）求證：$\frac{B{F}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{BD}{CD}$；
（3）連接AE，求AE•MN的值．

Answer 1

分析 （1）如圖，要證明FB是圓O的切線，只要證明∠FBC=90°；根據(jù)已知條件BC²=CF•AC，聯(lián)想到相似三角形的判定，只要證明△BCF∽△ACB，得到∠FBC=∠BAC，即可解決問題．
（2）如圖，根據(jù)要證明結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，觀察圖形，數(shù)形結(jié)合，很容易聯(lián)想到射影定理；運(yùn)用射影定理，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可解決問題．
（3）觀察圖形，容易猜想四邊形AMEN為菱形；證明四邊形AMEN為菱形，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；分別求出AN、DE的長度，運(yùn)用菱形的面積公式，即可求出AE•MN的值．

解答 解：（1）如圖，∵BC²=CF•AC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CF}{BC}$，而∠C=∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴∠FBC=∠BAC；而BC為半⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，∠FBC=90°，
∴FB是圓O的切線．
（2）由射影定理得：BF²=AF•CF，BC²=AC•CF，
∴$\frac{B{F}^{2}}{B{C}^{2}}=\frac{AF•CF}{AC•CF}=\frac{AF}{AC}$①；
∵AD⊥BC，ME⊥BC，
∴AD∥ME，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{DC}$②；
由①②知：$\frac{B{F}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{BD}{CD}$．
（3）如圖，連接AE；
∵BM平分∠ABE，且MA⊥AB，ME⊥BE，
∴MA=ME，AN∥ME；設(shè)∠ABM=∠DBN=α，
則∠AMN=90°-α，∠ANM=∠BND=90°-α，
∴∠AMN=∠ANM，AM=AN，
∴AN=ME；而AN∥ME，
∴四邊形AMEN為平行四邊形；而AM=AN，
∴四邊形AMEN為菱形，AE⊥MN；
∵cos∠ABD=$\frac{3}{5}$，AD=12．
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$；設(shè)BD=3λ，則AB=5λ；
由勾股定理得：（5λ）²=（3λ）²+12²，
解得：λ=3，BD=9，AB=15；
由勾股定理可證：BE=BA=15，
∴DE=15-9=6；而BN平分∠ABD，
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{AB}{BD}$，而BD=9，AB=15，AD=12，
解得：AN=$\frac{15}{2}$；由面積公式得：
$AN•DE=\frac{1}{2}AE•MN$
∴AE•MN=2×$\frac{15}{2}$×6=90．

點(diǎn)評(píng) 該題以圓為載體，主要考查了切線的判定、射影定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確找出圖形中隱含的相等或相似關(guān)系；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用射影定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答．