Question

6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，CB．
（1）求證：CE=CB；
（2）若AC=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，利用切線的性質(zhì)和已知條件推知OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊證得結(jié)論；
（2）AE=AD-ED，通過相似三角形△ADC∽△ACB的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE=$\sqrt{E{C}^{2}-D{C}^{2}}$=1，故AE=AD-ED=3．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3．
又OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴CE=CB；

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2$\sqrt{5}$，CB=CE=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=5．
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{DC}{CB}$，即$\frac{AD}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{DC}{\sqrt{5}}$，
∴AD=4，DC=2．
在直角△DCE中，DE=$\sqrt{E{C}^{2}-D{C}^{2}}$=1，
∴AE=AD-ED=4-1=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)，注意輔助線的作法．