Question

4．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心、DC為半徑作⊙D．
（1）求證：⊙D與AB相切．
（2）若⊙D與AB的切點(diǎn)為E，BD與⊙D交于點(diǎn)F，且DE∥CF，判斷四邊形CDEF的形狀并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過(guò)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接DE，EF，CF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC=BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=EF，∠CFB=∠EFB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CFD=∠EDF，等量代換得到∠EDF=∠EFD，得到DE=EF，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，過(guò)D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，
∴CD=DE，
∴⊙D與AB相切；
（2）四邊形CDEF是菱形，
理由：如圖2，連接DE，EF，CF，
∵∠ACB=90°，CD是⊙D 半徑，
∴BC是⊙D 的切線，
∵AB是⊙D的切線，
∴BC=BE，
在△CBF與△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BE}\\{∠CBF=∠EBF}\\{BF=BF}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△EBF，
∴CF=EF，∠CFB=∠EFB，
∴∠CFD=∠DFE，
∵CF∥DE，
∴∠CFD=∠EDF，
∴∠EDF=∠EFD，
∴DE=EF，
∴DE=CF，
∴四邊形CDEF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．