Question

11．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，AC=2，BD=4．AB=$\sqrt{5}$，則平行四邊形ABCD的高AH的長為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先由平行四邊形的性質得出OA=1，OB=2，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，那么平行四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)菱形的面積不變求出AH的長．

解答 解：∵在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，AC=2，BD=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=1，OB=$\frac{1}{2}$=2，
∴OA²+OB²=1+4=5=AB²，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=$\sqrt{5}$，
∴S_菱形ABCD=BC•AH=$\frac{1}{2}$AC•BD，
∴AH=$\frac{\frac{1}{2}×2×4}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質，菱形的判定與性質，勾股定理的逆定理，關鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，再利用菱形的面積公式列式計算．