Question

11．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax²+$\frac{7}{2}$x+c經(jīng)過A（8，0）、B（0，4）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段CA、OA、AB和拋物線于點M、E、Q和點P，連接PA、PB，設(shè)直線l移動的時間為t（0＜t＜4）秒，當(dāng)t為何值時，線段PQ最長？
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使△PAM的內(nèi)角為直角？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（溫馨提示：若直線y=k₁x+b₁與直線y=k₂x+b₂垂直，則k₁•k₂=-1）．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，由題意可知OE=2t，則用t可表示出P、Q的坐標(biāo)，從而可表示出PQ的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時的t的值；
（3）由條件可知只能∠PAM=90°，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式，則可設(shè)出直線AP的解析式，利用A點坐標(biāo)可求得直線AP的解析式，聯(lián)立直線AP和拋物線解析式可求得滿足條件的點P的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{64a+\frac{7}{2}×8+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+4；

（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
由題意可得OE=2t，
∴E（2t，0），
∴P（2t，-2t²+7t+4），Q（2t，-t+4），
∴PQ=（-2t²+7t+4）-（-t+4）=-2t²+8t=-2（t-2）²+8，
∵-2＜0，
∴當(dāng)t=2時，PQ有最大值，最大值為8；

（3）∵PM∥y，
∴∠AMP=∠ACO=90°，
∵∠APM是銳角，
∴要使△PAM的內(nèi)角為直角，只能是∠PAM=90°，
∴AC⊥AP，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴OB=OC=4，
∴C（0，-4），
∴可設(shè)直線AC解析式為y=sx-4，
把A點坐標(biāo)代入可得0=8s-4，解得s=$\frac{1}{2}$，
∴直線AC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4，
∴可設(shè)直線AP解析式為y=-2x+m，
把A點坐標(biāo)代入解得m=16，
∴直線AP解析式為y=-2x+16，
聯(lián)立直線AP和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+16}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{7}{2}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴P點坐標(biāo)為（3，10），
即存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（3，10）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點、兩垂直直線的關(guān)系等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用t表示出PQ的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得直線AP的解析式是解題的關(guān)鍵，注意利用題目中所給的兩垂直直線之間的關(guān)系．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．