Question

9．如圖1，點(diǎn)A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D．
（1）求m的值和直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OD-DB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①設(shè)△OPQ的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖2，當(dāng)?shù)腜在線段OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果作△OPQ關(guān)于直線PQ的對(duì)稱圖形△O′PQ，是否存在某時(shí)刻t，使得點(diǎn)O′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上？若存在，求O′的坐標(biāo)和t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由于點(diǎn)A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)的意義求出m，n，再由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）①由題意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面積公式可求出解析式；
②通過(guò)三角形相似，用t的代數(shù)式表示出O′的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的意義可求出t值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=8×1=8，
∴y=$\frac{8}{x}$，
∴8=$\frac{8}{n}$，即n=1，
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，
把（8，1）、B（1，8）代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{k+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=9}\end{array}\right.$．
∴直線AB的解析式為y=-x+9；

（2）①由題意知：OP=2t，OQ=t，
當(dāng)P在OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
S=$\frac{1}{2}OP•OQ$=$\frac{1}{2}×t×2t$=t²（0＜t≤4），
當(dāng)P在DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
S=$\frac{1}{2}OQ•OD$=$\frac{1}{2}$t×8=4t（4＜t≤4.5）；
②存在，
當(dāng)O′在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，
作PE⊥y軸，O′F⊥x軸于F，交PE于E，
則∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，
由題意知：∠PO′Q=∠POQ，∠QO′F=90°-∠PO′E，
∠EPO′=90′-∠PO′E，
∴△PEO′∽△O′FQ，
∴$\frac{PE}{O′F}$=$\frac{EO′}{QF}$=$\frac{PO′}{QO′}$，
設(shè)QF=b，O′F=a，
則PE=OF=t+b，O′E=2t-a，
∴$\frac{t+b}{a}=\frac{2t-a}=2$，
解得：a=$\frac{4}{5}t$，b=$\frac{3}{5}t$，
∴O′（$\frac{8}{5}$t，$\frac{4}{5}$t），
當(dāng)O′在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，
$\frac{8t}{5}•\frac{4t}{5}=8$，
解得：t=±$\frac{5}{2}$，
∵反比例函數(shù)的圖形在第一象限，
∴t＞0，
∴t=$\frac{5}{2}$．∴O′（4，2）．
當(dāng)t=$\frac{5}{2}$秒時(shí)，O′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)的意義，利用圖象和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的意義和能數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．