Question

2．如圖，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，a）是一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求m、a的值及一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可計(jì)算出m=-4×$\frac{1}{2}$=-2，再把B（-1，a）代入y=-$\frac{2}{x}$可求得a=2，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{2}$x+b求出b，從而得到一次函數(shù)解析式；
（2）連接PC、PD，如圖，設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（x+4）=$\frac{1}{2}$×|-1|×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），解得x=$\frac{5}{2}$，然后計(jì)算自變量為$\frac{5}{2}$時(shí)的一次函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵反比例y=$\frac{m}{x}$的圖象過點(diǎn)（-4，$\frac{1}{2}$），
∴m=-4×$\frac{1}{2}$=-2，
把B（-1，a）代入y=-$\frac{2}{x}$得-a=-2，解得a=2，
∵y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象過點(diǎn)A（-4，$\frac{1}{2}$）
∴$\frac{1}{2}$×（-4）+b=$\frac{1}{2}$，解得b=$\frac{5}{2}$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式是y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）連接PC、PD，如圖，設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），
∵△PCA和△PDB面積相等，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（x+4）=$\frac{1}{2}$×|-1|×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），解得x=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．注意用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長．