Question

3．如圖，正△ABC的三邊上有三點D，E，F(xiàn)，且AD=BE=CF，設(shè)AB=x，DE=y，△ADF的內(nèi)切圓的半徑為$\sqrt{3}$，則關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（　　）

• A． y=x-6
• B． y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
• C． y=x-3
• D． y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$

Answer 1

分析 首先證明△DEF是等邊三角形，由S_△ADF=S_△BDE=S_△EFC=$\frac{1}{2}$（AD+AF+DF）•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（x+y）•$\sqrt{3}$，根據(jù)S_△ABC-S_△EDF=3•S_△ADF，可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y²=3•$\frac{1}{2}$•（x+y）•$\sqrt{3}$，化簡后即可解決問題．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一個等邊三角形，
∵S_△ADF=S_△BDE=S_△EFC=$\frac{1}{2}$（AD+AF+DF）•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（x+y）•$\sqrt{3}$，
∵S_△ABC-S_△EDF=3•S_△ADF，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y²=3•$\frac{1}{2}$•（x+y）•$\sqrt{3}$，
∴（x²-y²）=6（x+y），
∴（x+y）（x-y）=6（x+y），
∵x+y≠0，
∴x-y=6，
∴y=x-6．
故選A．

點評 題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定及三角形面積公式，根據(jù)已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解題關(guān)鍵，解題的突破點是記住S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r（r是△ABC內(nèi)切圓的半徑）．