Question

13．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=13．AD=27，將它沿EF折疊，恰好使得點(diǎn)C落在邊A′B′上（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′），且把線段A′B′分成4：9兩部分（A′C＜B′C），A′F與CD相交于點(diǎn)M，則折痕EF的長(zhǎng)度為$\frac{13}{3}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理求出BE=12，再證明△A′CM∽△B′EC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出A′M=3，CM=5，再證明△A′CM∽△DFM，求出DF=$\frac{32}{3}$，則AF=$\frac{49}{3}$．過(guò)F作FG⊥BC于G，在△EFG中利用勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=27，
∵A′B′=AB=13，點(diǎn)C把線段A′B′分成4：9兩部分，
∴A′C=4，B′C=9，
設(shè)BE=B′E=x，則CE=27-x，
在Rt△B′CE中，B′E²+B′C²=CE²，
即x²+9²=（27-x）²，
解得x=12，
即BE=12，
∵∠A′MC+∠A′CM=∠A′CM+∠B′EC=90°，
∴∠A′MC=∠B′EC，
∵∠A′=∠B′=90°，
∴△A′CM∽△B′EC，
∴A′M：A′C=B′C：B′E，
即A′M：4=9：12，
解得A′M=3，
在Rt△B′CE中，CM=$\sqrt{A′{M}^{2}+A′{C}^{2}}$=5，
∴DM=13-CM=8，
∵∠A′MC=∠DMF，∠A′=∠D=90°，
∴△A′CM∽△DFM，
∴DF：DM=A′C：A′M，
即DF：8=4：3，
解得DF=$\frac{32}{3}$，
則BG=AF=27-DF=$\frac{49}{3}$．
過(guò)F作FG⊥BC于G，
EG=BG-BE=$\frac{49}{3}$-12=$\frac{13}{3}$，
FG=AB=13
在Rt△EFG中，EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\frac{13}{3}$$\sqrt{10}$．
故答案為：$\frac{13}{3}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形．