Question

17．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，過點A作AD⊥AB，且AD=AB，過點D作DE∥BC，交CA的延長線于點E，連接BD
（1）已知BC=2，EC=6，求DE的長度；
（2）如圖2，點F是BD的中點，連接EF和CF，求證：△EFC為等腰直角三角形；
（3）將直線BD繞點F旋轉(zhuǎn)，使它與射線BC、射線EF分別相交于點G、H，如圖3，試猜想EH、EC、CG之間有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ADE≌△ABC即可解決問題；
（2）如圖2中，延長EF交CB的延長線于M．只要證明△EFD≌△MFB，△ECM是等腰直角三角形即可；
（3）結(jié)論：EH=CG+CE．易證△EHF≌△MGF，可得EH=GM，由（2）可知，CE=CM，可得GM=CG+CM=CG+CE；

解答 解：（1）如圖1中，

∵∠ACB=90°，ED∥BC，
∴∠E+∠ACB=180°，
∴∠E=90°，∵∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC=90°，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠DAE=∠ABC，
在△ADE和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠C=90°}\\{∠DAE=∠ABC}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABC．
∴DE=AC，AE=BC=2，
∵EC=6，
∴AC=EC-AE=4，
∴DE=AC=4．

（2）如圖2中，延長EF交CB的延長線于M．

∵DE∥CM，
∴∠DEF=∠M．
∵∠EFD=∠MFB，DF=BF，
∴△EFD≌△MFB，
∴DE=BM．EF=FM，
∵AC=DE，EA=BC，
∴CE=CM，∵∠ECM=90°，
∴CF⊥EM，CF=EF=FM，
∴△EFC都是等腰直角三角形．

（3）延長EF交CB的延長線于M．

易證△EHF≌△MGF，
∴EH=GM，
由（2）可知，CE=CM，
∴GM=CG+CM=CG+CE．
∴EH=CG+CE．

點評 本題考查幾何變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．