Question

7．已知函數(shù)y=x²-4x+1．
（1）利用配方法求函數(shù)的對稱軸，頂點坐標和最小值；
（2）設函數(shù)圖象與x軸的交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）加4再減4，化成完全平方，得y=（x-2）²-3，分別寫出對稱軸，頂點坐標和最小值；
（2）由根據(jù)與系數(shù)的關系先計算：x₁+x₂=4，x₁x₂=1，再將x₁²+x₂²進行變形為（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入計算即可．

解答 解：（1）∵y=x²-4x+1=x²-4x+4-4+1=（x-2）²-3，
∴當x=2時，y最小值=3，
對稱軸為x=2，頂點為（2，-3）；
（2）由題意，x₁，x₂是方程x²-4x+1=0的兩根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4²-2×1=14．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質和拋物線與x軸的交點問題，利用頂點式可以表示二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標和最值：二次函數(shù)y=a（x-h）²+k中，①當a＞0時，對稱軸是直線x=h，頂點坐標為（h，k），因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=h時，y有最小值是k；②當a＜0時，對稱軸是直線x=h，頂點坐標為（h，k），因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=h時，y有最大值是k；求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標；反之，知道交點坐標，可由根與系數(shù)關系計算代數(shù)式的值，如第（2）問．