Question

15．如圖，已知直線AB：y=k₁x-2（k₁≠0）與x軸交于點C，與雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂≠0）交于點A、B，其中B點坐標(biāo)為（m，-4），tan∠OCB=$\frac{2}{3}$．
（1）求直線AB和雙曲線的表達(dá)式；
（2）連接AO，BO，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)tan∠OCB=$\frac{2}{3}$，求得C的坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法分別求其解析式；
（2）把三角形AOB的面積看成是三角形AOC和三角形OCB的面積之和進(jìn)行計算；

解答 解：由直線AB：y=k₁x-2（k₁≠0）可知D（0，-2），
∴OD=2，
∵tan∠OCB=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∴OC=3，
∴C（-3，0），
代入y=k₁x-2得：-3k₁-2=0，
解得k₁=-$\frac{2}{3}$，
∴直線AB為：y=-$\frac{2}{3}$x-2；
∵B（m，-4），tan∠OCB=$\frac{2}{3}$．
∴BE=4，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CE=6，
∴OE=3，
∴B（3，-4），
∵B點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k₂=3×（-4）=-12．
∴雙曲線的表達(dá)式為y=-$\frac{12}{x}$．
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{12}{x}}\\{y=-\frac{2}{3}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-6}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$，
∴A（-6，2），
∵C（-3，0），
∴OC=3．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×4=8．

點評 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的比例系數(shù)，求出函數(shù)解析式；要能夠熟練借助直線和y軸的交點運用分割法求得不規(guī)則圖形的面積．