Question

10．已知二次函數(shù)y=（x-1）（x-a-1）（a為常數(shù)，且a＞0）．
（1）求證：不論a為何值，該二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過x軸上一定點；
（2）設(shè)該函數(shù)圖象與x軸的交點為A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸的交點為C，△ABC的面積為1．
①求a的值；
②D是該函數(shù)圖象上一點，且點D的橫坐標(biāo)是m，若S_△ABD=$\frac{1}{8}$S_△ABC，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得對應(yīng)方程的兩根，可求得二次函數(shù)與x軸的交點，可證得結(jié)論；
（2）①結(jié)合（1）可用a表示出AB、OC，從而可表示出△ABC的面積，可求得a的值；②由①可得到拋物線的解析式，用m表示出D到AB的距離，可表示出△ABD的面積，可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

解答 （1）證明：
令y=0，則（x-1）（x-a-1）=0．
解得x₁=1，x₂=1+a．
∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為（1，0）、（1+a，0）．
∴不論a為何值，該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過x軸上的定點（1，0）．
（2）解：
①由題意得，AB=a，OC=1+a（a＞0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$a（a+1）．
∴$\frac{1}{2}$a（a+1）=1．
解得a₁=1，a₂=-2（舍去）．
∵a＞0，
∴a=1． 
②由①可得拋物線為y=x²-3x+2，
令y=0可得0=x²-3x+2，解得x=1或x=2，
∴AB=1，
由于D點在拋物線上，故可設(shè)D點坐標(biāo)為（m，m²-3m+2），
∴D到AB的距離為h=|m²-3m+2|，且S_△ABC=1，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×1×|m²-3m+2|=$\frac{1}{8}$，
整理可得|m²-3m+2|=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)m²-3m+2=$\frac{1}{4}$時，解得m=$\frac{3±\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)m²-3m+2=-$\frac{1}{4}$時，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴m的值為$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點，掌握二次函數(shù)與x軸的交點橫坐標(biāo)是對應(yīng)一元二次方程的兩根是解題的關(guān)鍵．