Question

14．在矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b，動點E從點A出發(fā)沿著邊AD向點D運動．

（1）如圖1所示，當a=2，b=4，點E運動到邊AD的中點時，求證：BE⊥CE；
（2）如圖2所示，當a=2，b=3時，點E在運動過程中，是否存在BEC=90°？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3所示，當a=2，b=5時，點E在運動的過程中，若以A，B，E為頂點的三角形與以D，C，E為頂點的三角形相似，求此時AE的長度．

Answer 1

分析 （1）當點E運動到邊AD的中點時，AE=AB，DE=DC，故此△AEB和△DEC為等腰直角三角形，從而可證明∠BEC=90°；
（2）以BC為直徑作圓0，過點O作OF⊥AD垂足為F，可知r=1.5，OF=2，d＞r，故此直線AD與圓0相離，所以∠BEC＜90°；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，從而可求得AE的長．

解答 解：（1）∵E是AD的中點，
∴AE=DE=2．
∵AB=DC=2．
∴AE=AB，DE=DC．
∵ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°．
∴△AEB和△DEC均為等腰直角三角形．
∴∠AEB=45°，∠DEC=45°．
∴∠BEC=180°-45°-45°=90°．
∴BE⊥EC．
（2）不存在．
理由：以BC為直徑作圓0，過點O作OF⊥AD垂足為F．

∵BC=3，
∴圓O的半徑r=1.5，
∵∠ABO=∠A=∠OFA=90°，
∴四邊形ABOF為矩形．
∴OF=AB=2．
∴d＞r，
∴直線AD與圓0相離．
∴點E在圓O外．
∴∠BEC＜90°；
（3）如圖3所示．

①設(shè)AE=x，則ED=5-x．
∵△EAB∽△CDE，
∴$\frac{DC}{ED}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2}{5-x}=\frac{x}{2}$．
解得：x₁=4，x₂=1（舍去），
∴AE=4．
②當點E位于E′處時．
∵△AE′B∽△DE′C．
∴$\frac{AE′}{DE′}=\frac{AB}{DC}=1$．
∴AE′=DE′．
∴AE′=2.5，即AE=2.5．
③當點E位于E″處時．
∵△ABE″∽△DE″C，
∴$\frac{AE″}{AB}=\frac{DC}{DE″}$，即$\frac{x}{2}=\frac{2}{5-x}$．
解得：x₁=1，x₂=4（舍去）．
綜上所述，若以A，B，E為頂點的三角形與以D，C，E為頂點的三角形相似，AE=1或AE=2.5，或AE=4．

點評 本題主要考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合點E的位置，列出關(guān)于AE長度的比例式是解題的關(guān)鍵．