Question

6．已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A，D不重合，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CP，交邊AB于點(diǎn)E，設(shè)PD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

分析 只要證明△AEP∽△DPC，得$\frac{AE}{DP}$=$\frac{AP}{DC}$，可得y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，利用配方法求出x取何值時(shí)，y的最大值，結(jié)合題意可得x的取值范圍．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，∠A=∠D=∠EPC=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠AEP+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC，
∴$\frac{AE}{DP}$=$\frac{AP}{DC}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{3-x}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴x=$\frac{3}{2}$時(shí)y的最大值為$\frac{9}{8}$，
∵$\frac{9}{8}$＜2，
∴x的取值范圍為0＜x＜3．
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決自變量的取值范圍，屬于中考常考題型．