Question

6．如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，點D為AB的中點，以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，證明△DMG≌△DNH，則S_{四邊形DGCH}=S_{四邊形DMCN}，求得扇形FDE的面積，則陰影部分的面積即可求得．

解答 解：連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴DC=$\frac{1}{2}$AB=1，四邊形DMCN是正方形，DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則扇形FDE的面積是：$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$．
∵CA=CB，∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMG=∠DNH}\\{∠GDM=∠HDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S_{四邊形DGCH}=S_{四邊形DMCN}=$\frac{1}{2}$．
則陰影部分的面積是：$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計算的綜合題，正確證明△DMG≌△DNH，得到S_{四邊形DGCH}=S_{四邊形DMCN}是關(guān)鍵．