Question

5．（1）如圖1，△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)E是兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求∠BEC的度數(shù)；
（2）如圖2，∠MON=80°，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動(dòng)，△AOB的角平分線AC與BD交于點(diǎn)P．試問(wèn)：隨著點(diǎn)A、B位置的變化，∠APB的大小是否會(huì)變化？若保持不變，請(qǐng)求出∠APB的度數(shù)．若發(fā)生變化，求出變化范圍．
（3）圖3畫兩條相交的直線OX、OY，使∠XOY=60°，②在射線OX、OY上分別再任意取A、B兩點(diǎn)，③作∠ABY的平分線BD，BD的反向延長(zhǎng)線交∠OAB的平分線于點(diǎn)C，隨著點(diǎn)A、B位置的變化，∠C的大小是否會(huì)變化？若保持不變，請(qǐng)求出∠C的度數(shù)．若發(fā)生變化，求出變化范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由角平分線的定義得出∠EBC+∠ECB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)求出∠APB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°即可求解；
（3）令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°．
∵點(diǎn)E是兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°；

（2）不變．
∵在△AOB中，∠MON=80°，
∴∠OAB+∠OBA=100°，
又∵AC、BD為角平分線，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$∠OAB+$\frac{1}{2}$∠OBA=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=130°，
即隨著點(diǎn)A、B位置的變化，∠APB的大小始終不變，為130°；

（3）不變．
令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，
∵∠ABY是△AOB的外角，
∴2y=n+2x，
同理，∠ABD是△ABC的外角，有y=∠C+x，
∴∠C=$\frac{∠XOY}{2}$=$\frac{60°}{2}$=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識(shí)：①三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；②三角形的內(nèi)角和是180°．