Question

4．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3）、B（3，0）、C（4，4），線段CA的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)M，使四邊形ABOM的面積與三角形ABC的面積相等，則M的坐標(biāo)為（-2，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 先過點(diǎn)C作CD⊥x軸與D，過點(diǎn)M作ME⊥AO于E，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC解析式，再根據(jù)四邊形ABOM的面積與三角形ABC的面積相等，求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，最后根據(jù)直線解析式求得M的縱坐標(biāo)即可．

解答 解：過點(diǎn)C作CD⊥x軸與D，過點(diǎn)M作ME⊥AO于E，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
∵A（0，3）、C（4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{4=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x+3
∵A（0，3）、B（3，0）、C（4，4），
∴AO=3，BO=3，OD=4，CD=4，
∴四邊形ABOM的面積
=△AOM的面積+△AOB的面積
=$\frac{1}{2}$×3×（ME+3）
=$\frac{3}{2}$（ME+3），
△ABC的面積
=梯形AODC的面積-△AOB的面積-△BCD的面積
=$\frac{（3+4）×4}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×4
=14-$\frac{9}{2}$-2
=$\frac{15}{2}$，
∵四邊形ABOM的面積與三角形ABC的面積相等，
∴$\frac{3}{2}$（ME+3）=$\frac{15}{2}$，
∴ME=2，即M的橫坐標(biāo)為-2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=$\frac{1}{4}$×（-2）+3=$\frac{5}{2}$，
∴M（-2，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的面積以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法以及三角形的面積計(jì)算公式，解題時(shí)注意方程思想運(yùn)用．