Question

5．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與直線AB相交于A（-3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)C是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)，求使∠CBA=90°的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△APB的面積等于3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（-3，0），B（0，3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式求出b和c的值即可；
（2）過點(diǎn)B作CB⊥AB，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，易求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再求出OE的長，即可得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
（3）假設(shè)在在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△APB的面積等于3，連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點(diǎn)D，作PF∥y軸交AB于點(diǎn)F，在Rt△OAB中，易求AB=$\sqrt{O{B}^{2}+A{O}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），再分兩種情況①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時，②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時分別討論求出符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+3；

（2）如圖1：過點(diǎn)B作CB⊥AB，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，
∵y=-x²-2x+3，
∴拋物線對稱軸為直線x=-1，
∴CE=1，
∵AO=BO=3，
∴∠ABO=45°，
∴∠CBE=45°，
∴BE=CE=1，
∴OE=OB+BE=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）；

（3）假設(shè)在在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△APB的面積等于3，如圖2：
連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點(diǎn)D，作PF∥y軸交AB于點(diǎn)F，在Rt△OAB中，易求AB=$\sqrt{O{B}^{2}+A{O}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵S_△APB=3，
∴PD=$\sqrt{2}$
∵∠PFD=∠ABO=45°，
∴PF=2，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），
∵A（-3，0），B（0，3），
∴直線AB的解析式為y=x+3，
∴可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），
①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時，
可得：-m²-2m+3=m+3+2，
解得：m=-1或-2，
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，4）或（-2，3），
②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時，
可得：-m²-2m+3=m+3-2，
解得：m=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）
綜上可知符合條件的點(diǎn)P有4個，坐標(biāo)分別為：（-1，4）或（-2，3）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法以及勾股定理的運(yùn)用解一元二次方程以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．