Question

1．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，1），（1，-1），（5，1）
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁B₁C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A₁B₁C，并直接寫出點(diǎn)A₁和B₁的坐標(biāo)；
（3）將△ABC繞線段AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀；
（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形，寫出點(diǎn)A₁和B₁的坐標(biāo)即可；
（3）所得幾何體的表面積為底面半徑為2，母線長(zhǎng)為$\sqrt{5}$的圓錐側(cè)面積與底面半徑為2，母線長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$的圓錐側(cè)面積的和．

解答 解：（1）∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AC=5，
（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=5²，
在△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴△ABC的形狀是直角三角形；    

（2）如圖，△A₁B₁C即為所求．

由圖可知，A₁（5，6），B₁（3，5）；

（3）∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AC=5，所得兩個(gè)圓錐的底面半徑都為2，
∴幾何體的表面積=π×2×$\sqrt{5}$+π×2×2$\sqrt{5}$=6$\sqrt{5}$π．
故所得幾何體的表面積為6$\sqrt{5}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是作圖-旋轉(zhuǎn)變換，圓錐側(cè)面積的計(jì)算，關(guān)鍵是熟知圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)，圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2的知識(shí)點(diǎn)．