Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由AD與BC平行，且DE垂直于BC，得到DE垂直于AD，由G為AF的中點，即DG為斜邊AF的中線，得到DG=AG=FG=3，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠DGC為三角形ADG的外角，利用外角性質(zhì)得到∠DGC=2∠GAD，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠GAD=∠ACB，設(shè)∠ACB=α，則有∠ACD=2α，進而得到∠DGC=∠DCG，利用等角對等邊得到DG=DC，求出DC的長，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出DE的長即可．

解答 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴AD⊥DE，
∵G為AF的中點，即DG為斜邊AF的中線，
∴DG=AG=FG=3，
∴∠GAD=∠GDA，
∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠ACB，
設(shè)∠ACB=α，則∠ACD=2α，
∵∠GAD=∠GDA=α，
∴∠DGC=2α，即∠ACD=∠DGC，
∴DG=DC=3，
在Rt△DEC中，DC=3，EC=1，
根據(jù)勾股定理得：DE=$\sqrt{D{C}^{2}-E{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$

點評 此題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．