Question

4．△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BD⊥AC于點D，AE平分∠BAC，交BD于點F，交BC于點E，G為AB中點，連接DG，交AE于點H，連接HB．
（1）求∠ACB；
（2）求證：△BDC≌△ADF；
（3）求證：HE=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AE⊥BC，BE=CE，求得∠CAE+∠C=90°，由于∠CBD+∠C=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CAE=∠CBD，根據(jù)已知條件得到∠DBA=∠DAB，根據(jù)等腰三角形的判定得到BD=AD，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AF，根據(jù)線段垂直平分線的定義得到DG垂直平分AB，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到HA=HB，由角平分線的性質(zhì)得到∠HAB=∠HBA=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，于是得到∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，證得∠BHE=∠HBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到HE=BE=$\frac{1}{2}$BC，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°．

（2）∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∴∠CAE+∠C=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C=90°，
∴∠CAE=∠CBD，
∵BD⊥AC，D為垂足，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DBA=45°，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DA=DB，
在△BDC和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠ADF}\\{BD=AD}\\{∠CAE=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ADF （ASA），

（3）∵△BDC≌△ADF，
∴BC=AF，
∵DA=DB，點G為AB的中點，
∴DG垂直平分AB，
∵點H在DG上，
∴HA=HB，
∴∠HAB=∠HBA=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，
∴∠HBE=∠ABC-∠ABH=67.5°-22.5°=45°，
∴∠BHE=∠HBE，
∴HE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AF=BC，
∴HE=$\frac{1}{2}$AF．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證得△ADF≌△BDC是解題的關(guān)鍵．