Question

16．已知拋物線y=x²+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（0，n）．
（1）b=-2，n=1．
（2）將該拋物線向下平移m（m＞0）個(gè)單位，設(shè)得到的拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，若△ABC為等邊三角形．
①求m的值；
②設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使四邊形CBDP為平行四邊形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把（1，0），（0，n）分別代入y=x²+bx+1可求出b和n的值；
（2）①根據(jù)拋物線的平移規(guī)律得到拋物線y=（x-1）²向下平移m（m＞0）個(gè)單位所得拋物線解析式為y=（x-1）²-m，則A（1，-m），再根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到B（1-$\sqrt{m}$，0），C（1+$\sqrt{m}$，0），則BC=2$\sqrt{m}$，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{m}$=m，解得m=3；
②當(dāng)m=3時(shí)，A（1，-3），拋物線解析式為y=（x-1）²-3，利用關(guān)于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到D（1，3），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DP∥BC，DP=BC，而BC=2$\sqrt{3}$，于是可得P（1+2$\sqrt{3}$，3），然后判斷P（1+2$\sqrt{3}$，3）不在拋物線y=（x-1）²-3上，于是得到不存在這樣的P點(diǎn)．

解答 解：（1）把（1，0），（0，n）分別代入y=x²+bx+1得1+b+1=0，n=1，
所以b=-2，n=1；
故答案為-2，1；
（2）①y=x²-2x+1=（x-1）²，
將拋物線y=（x-1）²向下平移m（m＞0）個(gè)單位所得拋物線解析式為y=（x-1）²-m，則A（1，-m），
當(dāng)y=0時(shí)，（x-1）²-m=0，解得x₁=1+$\sqrt{m}$，x₂=1-$\sqrt{m}$，則B（1-$\sqrt{m}$，0），C（1+$\sqrt{m}$，0），
∴BC=2$\sqrt{m}$，
∵△ABC為等邊三角形，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{m}$=m，
∴m=3；
②不存在．理由如下：
當(dāng)m=3時(shí)，A（1，-3），y=（x-1）²-3，
∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴D（1，3），
要使四邊形CBDP為平行四邊形，則DP∥BC，DP=BC，
而BC=1+$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴P（1+2$\sqrt{3}$，3），
當(dāng)x=1+2$\sqrt{3}$時(shí)，y=（x-1）²-3=12-3=9，
∴P（1+2$\sqrt{3}$，3）不在拋物線y=（x-1）²-3上，
∴不存在這樣的P點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線進(jìn)行．