Question

10．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點D作DE⊥BD交BC的延長線于點E．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若BD=4，AC=3，求cos∠CDE的值．

Answer 1

分析 （1）想辦法證明AC∥DE，AD∥CE即可；
（2）只要證明∠CDE=∠E，再想辦法求出cos∠E即可；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∠BOC=90°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BOC，
∴AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形．

（2）解：∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，
∵AD=BC，
∴BC=CE，
∵∠BDE=90°，
∴DC=CE，
∴∠CDE=∠E
∴cos∠CDE=cos∠E，
∵BD=4，AC=3，∠BDE=90°，
∴BE=5，
∴cos∠E=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠CDE=cos∠E=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．